Перъединичная матрица

Перъединичная матрица (обменная матрица) — квадратная матрица, все элементы побочной диагонали которой равны 1, а остальные — 0 (то есть антидиагональная бинарная):

J 2 = ( 0 1 1 0 ) {displaystyle J_{2}={egin{pmatrix}0&11&0end{pmatrix}}} ; J 3 = ( 0 0 1 0 1 0 1 0 0 ) {displaystyle J_{3}={egin{pmatrix}0&0&1&1&01&0&0end{pmatrix}}} ; J n = ( 0 0 ⋯ 0 0 1 0 0 ⋯ 0 1 0 0 0 ⋯ 1 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 1 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 ) {displaystyle J_{n}={egin{pmatrix}0&0&cdots &0&0&1&0&cdots &0&1&0&0&cdots &1&0&0vdots &vdots &&vdots &vdots &vdots &1&cdots &0&0&01&0&cdots &0&0&0end{pmatrix}}} .

С помощью символа Кронекера можно записать определение элементов перъединичной матрицы как J i j = δ n + 1 − i , j {displaystyle J_{ij}=delta _{n+1-i,j}} .

Является матрицей перестановки: она переставляет все строки матрицы в обратном порядке, если умножается слева на эту матрицу, и переставляет в обратном порядке столбцы, если умножается справа.

Некоторые свойства:

• J ⊺ = J {displaystyle J^{intercal }=J} ;
• J n = I {displaystyle J^{n}=I} для чётных n {displaystyle n} и J n = J {displaystyle J^{n}=J} для нечётных n {displaystyle n} , то есть инволютивна — J − 1 = J {displaystyle J^{-1}=J} ;
• t r J = 1 {displaystyle mathop { m {tr}} ;J=1} для нечётных n {displaystyle n} и t r J = 0 {displaystyle mathop { m {tr}} ;J=0} для чётных n {displaystyle n} ;
• ( J A ) i , j = A n + 1 − i , j {displaystyle (JA)_{i,j}=A_{n+1-i,j}} и ( A J ) i , j = A i , n + 1 − j {displaystyle (AJ)_{i,j}=A_{i,n+1-j}} для произвольной ( n × n ) {displaystyle (n imes n)} -матрицы A {displaystyle A} ;
• det J = ( − 1 ) n ( n − 1 ) 2 {displaystyle det J=(-1)^{frac {n(n-1)}{2}}} .

Понятие перъединичной матрицы может использоваться для определения матриц, обладающих определёнными симметриями, например, квадратная матрица A {displaystyle A} является:

• центросимметричной, если A J = J A {displaystyle AJ=JA} ;
• персимметричной, если A J = J A ⊺ {displaystyle AJ=JA^{intercal }} ;
• бисимметричной, если одновременно A J = J A ⊺ {displaystyle AJ=JA^{intercal }} и A J = J A {displaystyle AJ=JA} .