Одночлен

Одночлен (устаревшее: моном) — алгебраическое выражение, состоящее из произведения числового множителя (коэффициента) на одну или нескольких переменных, взятых каждая в натуральной степени. Степенью одночлена называется сумма степеней всех входящих в него переменных. Одночленом также считается отдельное число (без буквенных множителей), степень такого одночлена равняется нулю.

Примеры:

• − 7 {displaystyle -7}
• x 2 {displaystyle x^{2}}
• c 2 x y {displaystyle c^{2}xy}
• − a {displaystyle -a}
• 5 a x 3 {displaystyle 5ax^{3}}

Если числовой коэффициент одночлена не задан (например, в одночлене x 2 {displaystyle x^{2}} ), подразумевается коэффициент 1 или − 1 , {displaystyle -1,} в зависимости от знака перед одночленом.

Не являются одночленами выражения: a + b ;   a − b c . {displaystyle a+b; {frac {a-b}{c}}.}

Свойства

Произведение одночленов также является одночленом. При этом перемножаются коэффициенты и складываются показатели степеней для одинаково обозначенных переменных.

Пример: 3 a b ⋅ ( 2 , 5 a 3 c ) = 7 , 5 a 4 b c . {displaystyle 3abcdot (2{,}5a^{3}c)=7{,}5a^{4}bc.}

Возведение одночлена в натуральную степень также даёт одночлен.

Одночлены называются подобными, если они отличаются только коэффициентом (или вовсе не отличаются), а переменные и их степени полностью совпадают. При сложении или вычитании подобных одночленов получается одночлен, подобный исходным; его коэффициенты получаются соответственно сложением или вычитанием коэффициентов исходных одночленов.

Одночлен является частным случаем многочлена, не содержащим операции сложения. Сложение одночленов, не являющихся подобными, даёт многочлен; более того, многочлен можно именно так определить. Степень многочлена — это максимальная из степеней входящих в него одночленов.

Вариации и обобщения

В некоторых источниках рассматриваются одночлены, содержащие отрицательные степени переменных; они полезны, например, в теории рядов Лорана. Аналогично в теории рядов Пюизё естественно рассматривать одночлены с рациональными степенями.

Коэффициенты одночлена могут быть не только числами, но и элементами произвольного коммутативного кольца. Множество одночленов над заданным кольцом образует коммутативную полугруппу с единицей, операции над одночленами выполняются аналогично числовым одночленам.