Развёртка многогранника

Развёртка многогранника — совокупность многоугольников, соответственно равных граням многогранника, с указанием того, какие стороны и вершины многоугольников соответствуют одним и тем же рёбрам и вершинам многогранника. Модели многогранников часто склеиваются из развёрток или отдельных многоугольников с указанием сторон, которые должны быть склеены.

Развёртки платоновых тел с «крылышками» для склеивания граней

Тетраэдр Куб Октаэдр Икосаэдр Додекаэдр

Большие размерности

• Тессеракт

• Усечённый тессеракт

• 24-ячейник

Свойства

• Существуют примеры развёрток, из которых можно склеить различные выпуклые многогранники.
• Известны примеры невыпуклых многогранников, не допускающих развёрток.
• Среди тетраэдров можно найти пример, такой что разрезание рёбер по остовному дереву даёт развёртку с самоналеганиями.

• В 1975 году Шепард сформулировал гипотезу, что каждый выпуклый многогранник имеет развёртку без наложений. Эта гипотеза остаётся открытой до сегодняшнего дня. Известно следующее:
  • Для невыпуклых многогранников утверждение не верно.
  • Некоторые многогранники, например, неправильные тетраэдры определённого типа, допускают развёртки с самоперекрытиями.
  • Гипотеза верна для многогранников, у которых одна из граней имеет общее ребро со всеми остальными.
  • В 2014 Мохамед Гоми доказал, что такая развёртка найдётся, если применить к многограннику аффинное преобразование определённого типа. В частности, из любого комбинаторного класса выпуклых многогранников можно выбрать многогранник, допускающий развёртку.