Теорема о произведении отрезков хорд

Теорема о произведении отрезков хорд описывает соотношения отрезков, образованных двумя пересекающимися хордами окружности. В теореме утверждается, что произведения длин отрезков каждой из хорд равны.

Формулировка теоремы

Для двух хорд AC и BD, пересекающихся в точке S, выполняется следующее равенство:

| A S | ⋅ | S C | = | B S | ⋅ | S D | {displaystyle |AS|cdot |SC|=|BS|cdot |SD|}

Обратное также верно, т. е. если для двух отрезков AC и BD, пересекающихся в точке S, вышеприведённое равенство выполняется, то их концы A, B, C и D лежат на одной окружности. Другими словами, если диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке S и выполняется вышеупомянутое равенство, то этот четырёхугольник является вписанным.

Степень точки

Значения двух произведений в теореме о хордах зависит от расстояния точки пересечения S от центра окружности и называется абсолютным значением степени точки S. Более точно это можно выразить следующим образом:

| A S | ⋅ | S C | = | B S | ⋅ | S D | = r 2 − d 2 {displaystyle |AS|cdot |SC|=|BS|cdot |SD|=r^{2}-d^{2}}

где r является радиусом окружности, а d является расстоянием между центром окружности и точкой пересечения S. Это свойство следует непосредственно из применения теоремы о хордах к третьей хорде, проведённой через точку S и центр окружности M (см. рисунок).

Наряду с теоремой о секущей и касательной и теоремой о двух секущих, теорема о пересекающихся хордах является одним из трёх основных случаев более общей теоремы о двух пересекающихся прямых и окружности — теоремы о степени точки.

Доказательство теоремы

Теорему можно доказать с помощью подобных треугольников (через теорему о вписанном угле). Рассмотрим углы треугольников ASD и BSC:

∠ A D S = ∠ B C S {displaystyle angle ADS=angle BCS,} (углы, опирающиеся на хорду AB) ∠ D A S = ∠ C B S {displaystyle angle DAS=angle CBS,} (углы, опирающиеся на хорду CD) ∠ A S D = ∠ B S C {displaystyle angle ASD=angle BSC,} (вертикальные углы)

Это означает, что треугольники ASD и BSC подобны, а потому:

A S S D = B S S C ⇔ | A S | ⋅ | S C | = | B S | ⋅ | S D | {displaystyle {frac {AS}{SD}}={frac {BS}{SC}}Leftrightarrow |AS|cdot |SC|=|BS|cdot |SD|}

Вы можете посмотреть интерактивную иллюстрацию к теореме и её доказательству.