Область значений функции

Область значений (или множество значений) функции — множество, состоящее из всех значений, которые принимает функция.

Определение

Пусть на множестве X {displaystyle X} задана функция f {displaystyle f} , которая отображает множество X {displaystyle X} в Y {displaystyle Y} , то есть: f : X → Y {displaystyle f:X o Y} . Тогда областью (или множеством) значений функции f {displaystyle f} называется совокупность всех её значений, которая является подмножеством множества Y {displaystyle Y} и обозначается f ( X ) {displaystyle f(X)} , E ( f ) {displaystyle E(f)} , R ( f ) {displaystyle R(f)} или r a n f {displaystyle mathrm {ran} ,f} (от англ. range):

f ( X ) = { y ∈ Y | y = f ( x ) , x ∈ X } {displaystyle f(X)={yin Y|,y=f(x),,xin X}} .

Способы нахождения областей значений некоторых функций

• последовательное нахождение значений сложных аргументов функции;
• метод оценок;
• использование свойств непрерывности и монотонности функции;
• использование производной;
• использование наибольшего и наименьшего значений функции;
• графический метод;
• метод введения параметра;
• метод обратной функции.

Терминология

В некоторых источниках различаются понятия области значений и множества значений функции. При этом областью значений функции называется её кодомен, то есть множество Y {displaystyle Y} в обозначении функции f : X → Y {displaystyle f:X o Y} , а множеством значений функции называется совокупность всех значений f ( X ) {displaystyle f(X)} функции f {displaystyle f} .

Множество значений f ( X ) {displaystyle f(X)} называется также образом множества X {displaystyle X} при отображении f {displaystyle f} .

Иногда множество значений функции называют областью изменения функции.