Система центра масс

Система центра масс (система центра инерции) — невращающаяся система отсчёта, связанная с центром масс механической системы. Обычно сокращается как с. ц. м. или с. ц. и. Суммарный импульс системы в с.ц.м. равен нулю. Для замкнутой системы её система центра масс инерциальна, тогда как незамкнутая система в общем случае может обладать неинерциальной системой центра масс. Суммарная кинетическая энергия механической системы в с.ц.м. минимальна среди всех систем отсчёта; в любой другой невращающейся (необязательно инерциальной) системе отсчёта кинетическая энергия равна кинетической энергии в с.ц.м. плюс кинетическая энергия движения механической системы как целого (MV²/2, где М — полная масса механической системы, V — относительная скорость движения систем отсчёта).

При рассмотрении задач рассеяния частиц термин «система центра масс» употребляется как антоним термина «лабораторная система отсчёта».

Если экспериментальные исследования проводятся в лабораторной системе, то есть в системе, связанной с наблюдателем (неподвижным относительно частицы-мишени), то теоретическое рассмотрение задач рассеяния удобно проводить в движущейся относительно мишени системе центра масс. При переходе от лабораторной системы в систему центра масс меняются определения углов рассеяния частиц, так что для сравнения теории с экспериментом необходимо проводить перерасчёт полученных сечений рассеяния.

Например, при изучении столкновения двух одинаковых частиц, одна из частиц (мишень) до столкновения остается неподвижной, вторая налетает с некоторой конечной скоростью. При упругом лобовом столкновении вторая частица останавливается, передавая всю свою кинетическую энергию и импульс первой частице. Такая картина наблюдается в лабораторной системе отсчета. С точки зрения системы центра масс, частицы движутся навстречу друг другу с одинаковыми скоростями и после столкновения разлетаются в обе стороны с теми же (с точностью до знака) скоростями.

В нерелятивистском пределе координаты центра масс системы из n частиц, имеющих массы m k {displaystyle m_{k}} и (в некоторой системе отсчёта К) радиус-векторы r k → {displaystyle {vec {r_{k}}}} :

R → ′ = ∑ k = 1 n r k → m k ∑ k = 1 n m k = ∑ k = 1 n r k → m k M {displaystyle {vec {R}}^{prime }={frac {sum limits _{k=1}^{n}{{vec {r_{k}}}m_{k}}}{sum limits _{k=1}^{n}{m_{k}}}}={frac {sum limits _{k=1}^{n}{{vec {r_{k}}}m_{k}}}{M}}}

(М — масса всей системы тел). Продифференцировав по времени, получим скорость движения центра масс

V → ′ = ∑ k = 1 n v k → m k M = ∑ k = 1 n p k → M {displaystyle {vec {V}}^{prime }={frac {sum limits _{k=1}^{n}{{vec {v_{k}}}m_{k}}}{M}}={frac {sum limits _{k=1}^{n}{vec {p_{k}}}}{M}}}

( p k → {displaystyle {vec {p_{k}}}} — импульсы частиц), которую можно использовать для перехода от данной системы отсчёта К к системе центра масс, вычисляя скорости и радиус-векторы частиц в ней по формулам:

r k → ′ = r k → − R → ′ , {displaystyle {vec {r_{k}}}^{prime }={vec {r_{k}}}-{vec {R}}^{prime },} v k → ′ = v k → − V → ′ . {displaystyle {vec {v_{k}}}^{prime }={vec {v_{k}}}-{vec {V}}^{prime }.}

В релятивистском случае центр масс не является лоренц-инвариантом, однако система центра масс определяется и играет важную роль в релятивистской кинематике. Систему центра масс в релятивистском случае следует определять как систему отсчёта, в которой сумма импульсов всех тел системы равна нулю.