Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер




13.01.2022


29.12.2021


09.12.2021


09.12.2021


08.11.2021





Яндекс.Метрика





Геометрическая прогрессия

01.07.2022

Геометрическая прогрессия — последовательность чисел b 1 {displaystyle b_{1}} , b 2 {displaystyle b_{2}} , b 3 {displaystyle b_{3}} , … {displaystyle ldots } (члены прогрессии), в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением его на определённое число q {displaystyle q} (знаменатель прогрессии). При этом b 1 ≠ 0 , q ≠ 0 ; b n = b n − 1 q , n ∈ N , n ⩾ 2 {displaystyle b_{1} eq 0,q eq 0;b_{n}=b_{n-1}q,nin mathbb {N} ,ngeqslant 2} .

Описание

Любой член геометрической прогрессии может быть вычислен по формуле

b n = b 1 q n − 1 . {displaystyle b_{n}=b_{1}q^{n-1}.}

Если b 1 > 0 {displaystyle b_{1}>0} и q > 1 {displaystyle q>1} , прогрессия является возрастающей последовательностью, если 0 < q < 1 {displaystyle 0<q<1} , — убывающей последовательностью, а при q < 0 {displaystyle q<0} — знакочередующейся, при q = 1 {displaystyle q=1} — стационарной.

Своё название прогрессия получила по своему характеристическому свойству:

| b n | = b n − 1 b n + 1 , {displaystyle |b_{n}|={sqrt {b_{n-1}b_{n+1}}},}

то есть модуль каждого члена равен среднему геометрическому его соседей.

Примеры

  • Последовательность площадей квадратов, где каждый следующий квадрат получается соединением середин сторон предыдущего — бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем 1/2. Площади получающихся на каждом шаге треугольников также образуют бесконечную геометрическую прогрессию со знаменателем 1/2, сумма которой равна площади начального квадрата.
  • Геометрической является последовательность количества зёрен на клетках в задаче о зёрнах на шахматной доске.
  • 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192 — геометрическая прогрессия со знаменателем 2 из тринадцати членов.
  • 50; 25; 12,5; 6,25; 3,125; … — бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем 1/2.
  • 4; 6; 9 — геометрическая прогрессия из трёх элементов со знаменателем 3/2.
  • π {displaystyle pi } , π {displaystyle pi } , π {displaystyle pi } , π {displaystyle pi } — стационарная геометрическая прогрессия со знаменателем 1 (и стационарная арифметическая прогрессия с разностью 0).
  • 3; −6; 12; −24; 48; … — знакочередующаяся геометрическая прогрессия со знаменателем −2.
  • 1; −1; 1; −1; 1; … — знакочередующаяся геометрическая прогрессия со знаменателем −1.

Свойства

  • Формула знаменателя геометрической прогрессии:
q = b n + 1 b n {displaystyle q={frac {b_{n+1}}{b_{n}}}} Доказательство

По определению геометрической прогрессии.

  • Логарифмы членов геометрической прогрессии (если определены) образуют арифметическую прогрессию.
Доказательство

log ⁡ ( b n ) = log ⁡ ( b 1 q n − 1 ) = log ⁡ ( b 1 ) + ( n − 1 ) ⋅ log ⁡ ( q ) {displaystyle log(b_{n})=log(b_{1}q^{n-1})=log(b_{1})+(n-1)cdot log(q)} Формула общего члена арифметической прогрессии: a n = a 1 + ( n − 1 ) ⋅ d {displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)cdot d} .
В нашем случае
a 1 = log ⁡ ( b 1 ) {displaystyle a_{1}=log(b_{1})} ,
d = log ⁡ ( q ) {displaystyle d=log(q)} .

  • b n 2 = b n − i b n + i {displaystyle b_{n}^{2}=b_{n-i}b_{n+i}} , если 1 < i < n {displaystyle 1<i<n} .
Доказательство

b n 2 = b n b n = b 1 q n − 1 b 1 q n − 1 = b 1 q n − 1 − i b 1 q n − 1 + i = b n − i b n + i . {displaystyle b_{n}^{2}=b_{n}b_{n}=b_{1}q^{n-1}b_{1}q^{n-1}=b_{1}q^{n-1-i}b_{1}q^{n-1+i}=b_{n-i}b_{n+i}.}

  • Произведение первых n членов геометрической прогрессии можно рассчитать по формуле P n = ( b 1 ⋅ b n ) n 2 . {displaystyle P_{n}=(b_{1}cdot b_{n})^{frac {n}{2}}.}
Доказательство

P n = ∏ i = 1 n b i = ∏ i = 1 n b 1 q i − 1 = b 1 n ∏ i = 1 n q i − 1 = b 1 n 2 b 1 n 2 ∏ i = 1 n q i − 1 . {displaystyle P_{n}=prod _{i=1}^{n}b_{i}=prod _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}^{n}prod _{i=1}^{n}q^{i-1}=b_{1}^{frac {n}{2}}b_{1}^{frac {n}{2}}prod _{i=1}^{n}q^{i-1}.} Раскроем произведение ∏ i = 1 n q i − 1 {displaystyle prod _{i=1}^{n}q^{i-1}} : ∏ i = 1 n q i − 1 = q 0 ⋅ q 1 ⋅ q 2 ⋅ … ⋅ q i − 1 = q 0 + 1 + 2 + … + ( i − 1 ) . {displaystyle prod _{i=1}^{n}q^{i-1}=q^{0}cdot q^{1}cdot q^{2}cdot ldots cdot q^{i-1}=q^{0+1+2+ldots +(i-1)}.} Выражение 0 + 1 + 2 + … + ( n − 1 ) {displaystyle 0+1+2+ldots +(n-1)} представляет собой арифметическую прогрессию с a 1 = 0 {displaystyle a_{1}=0} и шагом 1. Сумма первых n членов прогрессии равна S n = n ⋅ a 1 + a n 2 = n ⋅ 0 + ( n − 1 ) 2 . {displaystyle S_{n}=ncdot {frac {a_{1}+a_{n}}{2}}=ncdot {frac {0+(n-1)}{2}}.} Откуда P n = b 1 n 2 b 1 n 2 ∏ i = 1 n q i − 1 = b 1 n 2 b 1 n 2 q n ( 0 + ( n − 1 ) ) 2 = ( b 1 b 1 q n − 1 ) n 2 = ( b 1 b n ) n 2 . {displaystyle P_{n}=b_{1}^{frac {n}{2}}b_{1}^{frac {n}{2}}prod _{i=1}^{n}q^{i-1}=b_{1}^{frac {n}{2}}b_{1}^{frac {n}{2}}q^{frac {n(0+(n-1))}{2}}=left(b_{1}b_{1}q^{n-1} ight)^{frac {n}{2}}=left(b_{1}b_{n} ight)^{frac {n}{2}}.}

  • Произведение членов геометрической прогрессии начиная с k-го члена, и заканчивая n-м членом, можно рассчитать по формуле P k , n = P n P k − 1 . {displaystyle P_{k,n}={frac {P_{n}}{P_{k-1}}}.}
Доказательство

P k , n = ∏ i = k n b i = ∏ i = 1 n b i ∏ j = 1 k − 1 b j = P n P k − 1 . {displaystyle P_{k,n}=prod _{i=k}^{n}b_{i}={frac {prod _{i=1}^{n}b_{i}}{prod _{j=1}^{k-1}b_{j}}}={frac {P_{n}}{P_{k-1}}}.}

  • Сумма n {displaystyle n} первых членов геометрической прогрессии S n = { ∑ i = 1 n b i = b 1 − b 1 q n 1 − q = b 1 ( 1 − q n ) 1 − q , if  q ≠ 1 n b 1 , if  q = 1 {displaystyle S_{n}={egin{cases}sum limits _{i=1}^{n}b_{i}={frac {b_{1}-b_{1}q^{n}}{1-q}}={frac {b_{1}left(1-q^{n} ight)}{1-q}},&{mbox{if }}q eq 1\nb_{1},&{mbox{if }}q=1end{cases}}}
Доказательство
  • Доказательство через сумму: S n = ∑ i = 1 n b 1 q i − 1 = b 1 + ∑ i = 2 n b 1 q i − 1 = b 1 + q ∑ i = 2 n b 1 q i − 2 = b 1 + q ∑ i = 1 n − 1 b 1 q i − 1 = b 1 + q ∑ i = 1 n b 1 q i − 1 − b 1 q n . {displaystyle S_{n}=sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}+sum _{i=2}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}+qsum _{i=2}^{n}b_{1}q^{i-2}=b_{1}+qsum _{i=1}^{n-1}b_{1}q^{i-1}=b_{1}+qsum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}-b_{1}q^{n}.} То есть ∑ i = 1 n b 1 q i − 1 = b 1 + q ∑ i = 1 n b 1 q i − 1 − b 1 q n {displaystyle sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}+qsum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}-b_{1}q^{n}} или ( 1 − q ) ∑ i = 1 n b 1 q i − 1 = b 1 − b 1 q n . {displaystyle left(1-q ight)sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}-b_{1}q^{n}.} Откуда ∑ i = 1 n b 1 q i − 1 = b 1 − b 1 q n 1 − q = b 1 1 − q n 1 − q . {displaystyle sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}={frac {b_{1}-b_{1}q^{n}}{1-q}}=b_{1}{frac {1-q^{n}}{1-q}}.}
  • Доказательство индукцией по n {displaystyle n} . Пусть S n = b 1 1 − q n 1 − q . {displaystyle S_{n}=b_{1}{frac {1-q^{n}}{1-q}}.} При n = 1 {displaystyle n=1} имеем: S 1 = ∑ i = 1 1 b i = b 1 = b 1 1 − q 1 1 − q . {displaystyle S_{1}=sum _{i=1}^{1}b_{i}=b_{1}=b_{1}{frac {1-q^{1}}{1-q}}.} При n → n + 1 {displaystyle n ightarrow n+1} имеем: S n + 1 = ∑ i = 1 n + 1 b i = ∑ i = 1 n b i + b n + 1 = b 1 1 − q n 1 − q + b 1 q n = b 1 ( 1 − q n 1 − q + q n ) = b 1 ( 1 − q n + q n − q n + 1 1 − q ) = b 1 1 − q n + 1 1 − q . {displaystyle S_{n+1}=sum _{i=1}^{n+1}b_{i}=sum _{i=1}^{n}b_{i}+b_{n+1}=b_{1}{frac {1-q^{n}}{1-q}}+b_{1}q^{n}=b_{1}left({frac {1-q^{n}}{1-q}}+q^{n} ight)=b_{1}left({frac {1-q^{n}+q^{n}-q^{n+1}}{1-q}} ight)=b_{1}{frac {1-q^{n+1}}{1-q}}.}
  • Сумма всех членов убывающей прогрессии:
| q | < 1 {displaystyle left|q ight|<1} , то b n → 0 {displaystyle b_{n} o 0} при n → + ∞ {displaystyle n o +infty } , и S n → b 1 1 − q {displaystyle S_{n} o {frac {b_{1}}{1-q}}} при n → + ∞ {displaystyle n o +infty } . Доказательство

lim n → ∞ S n = lim n → ∞ b 1 ( 1 − q n ) 1 − q = lim n → ∞ ( b 1 1 − q − b 1 q n 1 − q ) = b 1 1 − q − b 1 lim n → ∞ q n 1 − q . {displaystyle lim _{n o infty }S_{n}=lim _{n o infty }{frac {b_{1}left(1-q^{n} ight)}{1-q}}=lim _{n o infty }left({frac {b_{1}}{1-q}}-b_{1}{frac {q^{n}}{1-q}} ight)={frac {b_{1}}{1-q}}-b_{1}lim _{n o infty }{frac {q^{n}}{1-q}}.} Если | q | < 1 , {displaystyle left|q ight|<1,} то q n → 0 {displaystyle q^{n} o 0} при n → ∞ . {displaystyle n o infty .} Поэтому lim n → ∞ q n 1 − q = 0. {displaystyle lim _{n o infty }{frac {q^{n}}{1-q}}=0.} Следовательно lim n → ∞ S n = b 1 1 − q . {displaystyle lim _{n o infty }S_{n}={frac {b_{1}}{1-q}}.}