Отражающая функция Мироненко

Отражающая функция — функция, связывающая прошлое состояние системы с её будущим состоянием в симметричный момент времени. Понятие отражающей функции введено Владимиром Ивановичем Мироненко.

Определение

Пусть φ ( t ; t 0 , x ) {displaystyle varphi (t;t_{0},x)} есть общее решение в форме Коши системы дифференциальных уравнений x ˙ = X ( t , x ) , {displaystyle {dot {x}}=X(t,x),} решения которой однозначно определяются своими начальными данными. Отражающая функция этой системы определяется формулой F ( t , x ) = φ ( − t ; t , x ) . {displaystyle F(t,x)=varphi (-t;t,x).}

Применение

Для 2 ω {displaystyle 2omega } -периодической по переменной t {displaystyle t} системы дифференциальных уравнений с отражающей функцией F ( t , x ) {displaystyle F(t,x)} отображение Π ( x ) {displaystyle Pi (x)} за период [ − ω ; ω ] {displaystyle [-omega ;omega ]} (отображение Пуанкаре) находится по формуле Π ( x ) = F ( − ω , x ) . {displaystyle Pi (x)=F(-omega ,x).} Поэтому знание отражающей функции позволяет находить начальные данные ( ω , x 0 ) {displaystyle (omega ,x_{0})} для 2 ω {displaystyle 2omega } -периодических решений φ ( t ; − ω , x 0 ) {displaystyle varphi (t;-omega ,x_{0})} рассматриваемой системы и исследовать эти решения на устойчивость по Ляпунову. Отражающая функция F ( t , x ) {displaystyle F(t,x)} системы x ˙ = X ( t , x ) {displaystyle {dot {x}}=X(t,x)} удовлетворяет так называемому основному соотношению

F t + F x X + X ( − t , F ) = 0 , {displaystyle F_{t}+F_{x}X+X(-t,F)=0,} F ( 0 , x ) = x . {displaystyle F(0,x)=x.}

С помощью этого соотношения устанавливается, что для многих неинтегрируемых в квадратурах систем дифференциальных уравнений отображение Π ( x ) {displaystyle Pi (x)} за период [ − ω ; ω ] {displaystyle [-omega ;omega ]} может быть найдено даже через элементарные функции. В этом отражающая функция может быть сопоставлена с интегрирующим множителем.

Отражающая функция используется при исследовании вопросов существования и устойчивости периодических решений краевых задач для систем дифференциальных уравнений.