Главная
В математическом анализе дифференциальным биномом или биномиальным дифференциалом называется дифференциал вида
x m ( a + b x n ) p d x , {displaystyle x^{m}(a+bx^{n})^{p};dx,}где a, b — действительные числа, a m, n, p — рациональные числа. Представляет интерес интеграл от дифференциального бинома:
I = ∫ x m ( a + b x n ) p d x . {displaystyle I=int x^{m}(a+bx^{n})^{p};dx.}Свойства
Выразимость интеграла в элементарных функциях
Интеграл от дифференциального бинома выражается в элементарных функциях только в трёх случаях:
- p {displaystyle p} — целое число. Используется подстановка x = t k {displaystyle x=t^{k}} , k {displaystyle k} — общий знаменатель дробей m {displaystyle m} и n {displaystyle n} ;
- m + 1 n {displaystyle {frac {m+1}{n}}} — целое число. Используется подстановка a + b x n = t s {displaystyle a+bx^{n}=t^{s}} , s {displaystyle s} — знаменатель дроби p {displaystyle p} .
- p + m + 1 n {displaystyle p+{frac {m+1}{n}}} — целое число. Используется подстановка a x − n + b = t s {displaystyle ax^{-n}+b=t^{s}} , s {displaystyle s} — знаменатель дроби p {displaystyle p} .
Связь с бета-функцией и гипергеометрической функцией
Интеграл от дифференциального бинома выражается через неполную бета-функцию:
I = 1 n a p ( − a b ) ( m + 1 ) / n ⋅ B y ( m + 1 n , p + 1 ) , {displaystyle I={frac {1}{n}}a^{p}left(-{frac {a}{b}} ight)^{(m+1)/n}cdot B_{y}left({frac {m+1}{n}},p+1 ight),}где y = − b a x n {displaystyle y=-{ frac {b}{a}}x^{n}} , а также через гипергеометрическую функцию:
I = 1 m + 1 a p ( − a b ) ( m + 1 ) / n y ( m + 1 ) / n ⋅ 2 F 1 ( m + 1 n , − p ; m + 1 n + 1 ; y ) . {displaystyle I={frac {1}{m+1}}a^{p}left(-{frac {a}{b}} ight)^{(m+1)/n}y^{(m+1)/n}cdot {}_{2}F_{1}left({frac {m+1}{n}},-p;{frac {m+1}{n}}+1;y ight).}Примеры
Интеграл
∫ 1 + x 2 3 d x {displaystyle int {sqrt[{3}]{1+x^{2}}}dx}не выражается в элементарных функциях, здесь m = 0 , n = 2 , p = 1 3 {displaystyle m=0,n=2,p={1 over 3}} , и ни одно из трёх условий для m, n и p не выполнено.
В то же время интеграл
∫ 1 + x 2 d x = x x 2 + 1 2 + 1 2 ln ( x + x 2 + 1 ) + C {displaystyle int {sqrt {1+x^{2}}}dx={x{sqrt {x^{2}+1}} over 2}+{1 over 2}ln(x+{sqrt {x^{2}+1}})+C} ,как видим, выражается в элементарных функциях, поскольку здесь m = 0 , n = 2 , p = 1 2 {displaystyle m=0,n=2,p={1 over 2}} , и m + 1 n + p = 1 {displaystyle {m+1 over n}+p=1} , то есть является целым числом.
История
Случаи выразимости дифференциального бинома в элементарных функциях были известны ещё Л. Эйлеру. Однако, невыразимость дифференциального бинома в элементарных функциях во всех остальных случаях была доказана П. Л. Чебышёвым в 1853 году.