Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер




13.01.2022


29.12.2021


09.12.2021


09.12.2021


08.11.2021





Яндекс.Метрика





Список интегралов от экспоненциальных функций

29.05.2022

Ниже приведён список интегралов (первообразных функций) от экспоненциальной функции. В списке везде опущена константа интегрирования.

Неопределённые интегралы

∫ e c x d x = 1 c e c x {displaystyle int e^{cx};dx={frac {1}{c}}e^{cx}} ∫ a c x d x = 1 c ln ⁡ a a c x , {displaystyle int a^{cx};dx={frac {1}{cln a}}a^{cx},} для a > 0 , a ≠ 1 {displaystyle a>0,a eq 1} ∫ x e c x d x = e c x c 2 ( c x − 1 ) {displaystyle int xe^{cx};dx={frac {e^{cx}}{c^{2}}}(cx-1)} ∫ x 2 e c x d x = e c x ( x 2 c − 2 x c 2 + 2 c 3 ) {displaystyle int x^{2}e^{cx};dx=e^{cx}left({frac {x^{2}}{c}}-{frac {2x}{c^{2}}}+{frac {2}{c^{3}}} ight)} ∫ x n e c x d x = 1 c x n e c x − n c ∫ x n − 1 e c x d x {displaystyle int x^{n}e^{cx};dx={frac {1}{c}}x^{n}e^{cx}-{frac {n}{c}}int x^{n-1}e^{cx}dx} ∫ e c x d x x = ln ⁡ | x | + ∑ i = 1 ∞ ( c x ) i i ⋅ i ! {displaystyle int {frac {e^{cx};dx}{x}}=ln |x|+sum _{i=1}^{infty }{frac {(cx)^{i}}{icdot i!}}} ∫ e c x d x x n = 1 n − 1 ( − e c x x n − 1 + c ∫ e c x d x x n − 1 ) , {displaystyle int {frac {e^{cx};dx}{x^{n}}}={frac {1}{n-1}}left(-{frac {e^{cx}}{x^{n-1}}}+cint {frac {e^{cx}dx}{x^{n-1}}} ight),} для n ≠ 1 {displaystyle n eq 1} ∫ e c x ln ⁡ x d x = 1 c e c x ln ⁡ | x | − Ei ( c x ) {displaystyle int e^{cx}ln x;dx={frac {1}{c}}e^{cx}ln |x|-operatorname {Ei} ,(cx)} ∫ e c x sin ⁡ b x d x = e c x c 2 + b 2 ( c sin ⁡ b x − b cos ⁡ b x ) {displaystyle int e^{cx}sin bx;dx={frac {e^{cx}}{c^{2}+b^{2}}}(csin bx-bcos bx)} ∫ e c x cos ⁡ b x d x = e c x c 2 + b 2 ( c cos ⁡ b x + b sin ⁡ b x ) {displaystyle int e^{cx}cos bx;dx={frac {e^{cx}}{c^{2}+b^{2}}}(ccos bx+bsin bx)} ∫ e c x sin n ⁡ x d x = e c x sin n − 1 ⁡ x c 2 + n 2 ( c sin ⁡ x − n cos ⁡ x ) + n ( n − 1 ) c 2 + n 2 ∫ e c x sin n − 2 ⁡ x d x {displaystyle int e^{cx}sin ^{n}x;dx={frac {e^{cx}sin ^{n-1}x}{c^{2}+n^{2}}}(csin x-ncos x)+{frac {n(n-1)}{c^{2}+n^{2}}}int e^{cx}sin ^{n-2}x;dx} ∫ e c x cos n ⁡ x d x = e c x cos n − 1 ⁡ x c 2 + n 2 ( c cos ⁡ x + n sin ⁡ x ) + n ( n − 1 ) c 2 + n 2 ∫ e c x cos n − 2 ⁡ x d x {displaystyle int e^{cx}cos ^{n}x;dx={frac {e^{cx}cos ^{n-1}x}{c^{2}+n^{2}}}(ccos x+nsin x)+{frac {n(n-1)}{c^{2}+n^{2}}}int e^{cx}cos ^{n-2}x;dx} ∫ x e c x 2 d x = 1 2 c e c x 2 {displaystyle int xe^{cx^{2}};dx={frac {1}{2c}};e^{cx^{2}}} ∫ 1 σ 2 π e − ( x − μ ) 2 / 2 σ 2 d x = 1 2 ( 1 + erf x − μ σ 2 ) , {displaystyle int {1 over sigma {sqrt {2pi }}},e^{-{(x-mu )^{2}/2sigma ^{2}}};dx={frac {1}{2}}(1+{mbox{erf}},{frac {x-mu }{sigma {sqrt {2}}}}),} где erf(…) — функция ошибок

Определённые интегралы

∫ 0 1 e x ⋅ ln ⁡ a + ( 1 − x ) ⋅ ln ⁡ b d x = ∫ 0 1 ( a b ) x ⋅ b d x = ∫ 0 1 a x ⋅ b 1 − x d x = a − b ln ⁡ a − ln ⁡ b {displaystyle int limits _{0}^{1}e^{xcdot ln a+(1-x)cdot ln b};mathrm {d} x=int limits _{0}^{1}left({frac {a}{b}} ight)^{x}cdot b;mathrm {d} x=int limits _{0}^{1}a^{x}cdot b^{1-x};mathrm {d} x={frac {a-b}{ln a-ln b}}} для a > 0 ,   b > 0 ,   a ≠ b {displaystyle a>0, b>0, a eq b} , что есть логарифмическое среднее ∫ 0 ∞ e − a x d x = 1 a {displaystyle int limits _{0}^{infty }e^{-ax},mathrm {d} x={frac {1}{a}}} ∫ 0 ∞ e − a x 2 d x = 1 2 π a ( a > 0 ) {displaystyle int limits _{0}^{infty }e^{-ax^{2}},mathrm {d} x={frac {1}{2}}{sqrt {pi over a}}quad (a>0)} (интеграл Гаусса) ∫ − ∞ ∞ e − a x 2 d x = π a ( a > 0 ) {displaystyle int limits _{-infty }^{infty }e^{-ax^{2}},mathrm {d} x={sqrt {pi over a}}quad (a>0)} ∫ − ∞ ∞ e − a x 2 e − 2 b x d x = π a e b 2 a ( a > 0 ) {displaystyle int _{-infty }^{infty }e^{-ax^{2}}e^{-2bx},mathrm {d} x={sqrt {frac {pi }{a}}}e^{frac {b^{2}}{a}}quad (a>0)} ∫ − ∞ ∞ x e − a ( x − b ) 2 d x = b π a ( a > 0 ) {displaystyle int limits _{-infty }^{infty }xe^{-a(x-b)^{2}},mathrm {d} x=b{sqrt {pi over a}}quad (a>0)} ∫ − ∞ ∞ x 2 e − a x 2 d x = 1 2 π a 3 ( a > 0 ) {displaystyle int limits _{-infty }^{infty }x^{2}e^{-ax^{2}},mathrm {d} x={frac {1}{2}}{sqrt {pi over a^{3}}}quad (a>0)} ∫ 0 ∞ x n e − a x 2 d x = { 1 2 Γ ( n + 1 2 ) / a n + 1 2 ( n > − 1 , a > 0 ) ( 2 k − 1 ) ! ! 2 k + 1 a k π a ( n = 2 k , k целое , a > 0 ) k ! 2 a k + 1 ( n = 2 k + 1 , k целое , a > 0 ) {displaystyle int limits _{0}^{infty }x^{n}e^{-ax^{2}},mathrm {d} x={egin{cases}{frac {1}{2}}Gamma left({frac {n+1}{2}} ight)/a^{frac {n+1}{2}}&(n>-1,a>0){frac {(2k-1)!!}{2^{k+1}a^{k}}}{sqrt {frac {pi }{a}}}&(n=2k,k;{ ext{целое}},a>0){frac {k!}{2a^{k+1}}}&(n=2k+1,k;{ ext{целое}},a>0)end{cases}}} (!! — двойной факториал) ∫ 0 ∞ x n e − a x d x = { Γ ( n + 1 ) a n + 1 ( n > − 1 , a > 0 ) n ! a n + 1 ( n = 0 , 1 , 2 , … , a > 0 ) {displaystyle int limits _{0}^{infty }x^{n}e^{-ax},mathrm {d} x={egin{cases}{frac {Gamma (n+1)}{a^{n+1}}}&(n>-1,a>0){frac {n!}{a^{n+1}}}&(n=0,1,2,ldots ,a>0)end{cases}}} ∫ 0 ∞ e − a x sin ⁡ b x d x = b a 2 + b 2 ( a > 0 ) {displaystyle int limits _{0}^{infty }e^{-ax}sin bx,mathrm {d} x={frac {b}{a^{2}+b^{2}}}quad (a>0)} ∫ 0 ∞ e − a x cos ⁡ b x d x = a a 2 + b 2 ( a > 0 ) {displaystyle int limits _{0}^{infty }e^{-ax}cos bx,mathrm {d} x={frac {a}{a^{2}+b^{2}}}quad (a>0)} ∫ 0 ∞ x e − a x sin ⁡ b x d x = 2 a b ( a 2 + b 2 ) 2 ( a > 0 ) {displaystyle int limits _{0}^{infty }xe^{-ax}sin bx,mathrm {d} x={frac {2ab}{(a^{2}+b^{2})^{2}}}quad (a>0)} ∫ 0 ∞ x e − a x cos ⁡ b x d x = a 2 − b 2 ( a 2 + b 2 ) 2 ( a > 0 ) {displaystyle int limits _{0}^{infty }xe^{-ax}cos bx,mathrm {d} x={frac {a^{2}-b^{2}}{(a^{2}+b^{2})^{2}}}quad (a>0)} ∫ 0 2 π e x cos ⁡ θ d θ = 2 π I 0 ( x ) {displaystyle int limits _{0}^{2pi }e^{xcos heta }d heta =2pi I_{0}(x)} ( I 0 {displaystyle I_{0}} — модифицированная функция Бесселя первого рода) ∫ 0 2 π e x cos ⁡ θ + y sin ⁡ θ d θ = 2 π I 0 ( x 2 + y 2 ) {displaystyle int limits _{0}^{2pi }e^{xcos heta +ysin heta }d heta =2pi I_{0}left({sqrt {x^{2}+y^{2}}} ight)} ∫ 0 ∞ x s − 1 e x − 1 d x , = Γ ( s ) ζ ( s ) {displaystyle int _{0}^{infty }{frac {x^{s-1}}{e^{x}-1}},dx,=Gamma (s)zeta (s)} (Дзета-функция Римана)


Библиография

Книги
  • Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — 4-е изд. — М.: Наука, 1963. — ISBN 0-12-294757-6 // EqWorld
  • Двайт Г. Б. Таблицы интегралов СПб: Издательство и типография АО ВНИИГ им. Б. В. Веденеева, 1995. — 176 с. — ISBN 5-85529-029-8. // EqWorld
  • D. Zwillinger. CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, 31st ed., 2002. ISBN 1-58488-291-3.
  • M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 1964. ISBN 0-486-61272-4
  • Корн Г. А., Корн Т. М. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: «Наука», 1974.
Таблицы интегралов
  • Интегралы на EqWorld
  • S.O.S. Mathematics: Tables and Formulas
Вычисление интегралов
  • The Integrator (на Wolfram Research)
  • Империя Чисел
  • Методы вычисления неопределённых интегралов