Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер




13.01.2022


29.12.2021


09.12.2021


09.12.2021


08.11.2021





Яндекс.Метрика





Пентагональный икоситетраэдр

22.05.2022

Пентагональный икоситетраэдр (от др.-греч. πέντε — «пять», γωνία — «угол», εἴκοσι — «двадцать», τέτταρες — «четыре» и ἕδρα — «грань») — полуправильный многогранник (каталаново тело), двойственный курносому кубу. Составлен из 24 одинаковых неправильных пятиугольников.

Имеет 38 вершин. В 6 вершинах (расположенных так же, как вершины октаэдра) сходятся по 4 грани своими острыми углами; в 8 вершинах (расположенных так же, как вершины куба) сходятся по 3 грани теми тупыми углами, которые дальше от острого; в остальных 24 вершинах две грани сходятся своими тупыми углами, ближними к острому, и одна — тупым углом, дальним от острого.

  • 6 вершин расположены так же, как вершины октаэдра

  • 8 вершин расположены так же, как вершины куба

У пентагонального икоситетраэдра 60 рёбер — 24 «длинных» и 36 «коротких».

В отличие от большинства других каталановых тел, пентагональный икоситетраэдр (наряду с пентагональным гексеконтаэдром) является хиральным и существует в двух разных зеркально-симметричных (энантиоморфных) вариантах — «правом» и «левом».

Метрические характеристики и углы

При определении метрических свойств пентагонального икоситетраэдра приходится решать кубические уравнения и пользоваться кубическими корнями — тогда как для ахиральных каталановых тел не требуется ничего сложнее квадратных уравнений и квадратных корней. Поэтому пентагональный икоситетраэдр, в отличие от большинства других каталановых тел, не допускает евклидова построения. То же верно и для пентагонального гексеконтаэдра, а также для двойственных им архимедовых тел.

Как и для курносого куба, при описании метрических свойств и углов пентагонального икоситетраэдра важную роль играет константа трибоначчи:

t = 1 3 ( 1 + 19 − 3 33 3 + 19 + 3 33 3 ) ≈ 1,839 2868. {displaystyle t={frac {1}{3}}left(1+{sqrt[{3}]{19-3{sqrt {33}}}}+{sqrt[{3}]{19+3{sqrt {33}}}} ight)approx 1{,}8392868.} Грань пентагонального икоситетраэдра

Если три «коротких» стороны грани имеют длину b {displaystyle b} , то две «длинных» стороны имеют длину

a = t + 1 2 b ≈ 1,419 6434 b . {displaystyle a={frac {t+1}{2}}bapprox 1{,}4196434b.}

Площадь поверхности и объём многогранника при этом выражаются как

S = 3 ( t + 1 ) 22 ( 5 t − 1 ) 4 t − 3 b 2 ≈ 54,796 5494 b 2 , {displaystyle S=3(t+1){sqrt {frac {22(5t-1)}{4t-3}}};b^{2}approx 54{,}7965494b^{2},} V = t ( 3 t + 1 ) ( t − 1 ) 2 − t b 3 ≈ 35,630 2020 b 3 . {displaystyle V={frac {t(3t+1)}{(t-1){sqrt {2-t}}}};b^{3}approx 35{,}6302020b^{3}.}

Радиус вписанной сферы (касающейся всех граней многогранника в их инцентрах) при этом будет равен

r = 1 2 t + 1 ( 3 − t ) ( 2 − t ) b ≈ 1,950 6813 b , {displaystyle r={frac {1}{2}}{sqrt {frac {t+1}{(3-t)(2-t)}}};bapprox 1{,}9506813b,}

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер) —

ρ = 1 2 t + 1 2 − t b ≈ 2,101 5939 b , {displaystyle ho ={frac {1}{2}}{sqrt {frac {t+1}{2-t}}};bapprox 2{,}1015939b,}

радиус окружности, вписанной в грань —

r Γ P = ρ 2 − r 2 = 1 2 t + 1 3 − t b ≈ 0,782 0097 b , {displaystyle r_{Gamma mathrm {P} }={sqrt { ho ^{2}-r^{2}}}={frac {1}{2}}{sqrt {frac {t+1}{3-t}}};bapprox 0{,}7820097b,}

диагональ грани, параллельная одной из «коротких» сторон —

e = t b ≈ 1,839 2868 b . {displaystyle e=tbapprox 1{,}8392868b.}

Описать около пентагонального икоситетраэдра сферу — так, чтобы она проходила через все вершины, — невозможно.

Все четыре тупых угла грани равны arccos 1 − t 2 ≈ 114 , 81 ∘ ; {displaystyle arccos ,{frac {1-t}{2}}approx 114{,}81^{circ };} острый угол грани (между «длинными» сторонами) равен arccos ( 2 − t ) ≈ 80 , 75 ∘ . {displaystyle arccos ,(2-t)approx 80{,}75^{circ }.}

Двугранный угол при любом ребре одинаков и равен arccos t − 1 t − 3 ≈ 136 , 31 ∘ . {displaystyle arccos ,{frac {t-1}{t-3}}approx 136{,}31^{circ }.}