Теорема Баргмана — Вигнера

Теорема Баргмана — Вигнера — теорема аксиоматической квантовой теории поля. Раскрывает значение понятия универсальной накрывающей группы при преобразованиях Пуанкаре в релятивистской квантовой теории. Была доказана Ю. Вигнером и В. Баргманом.

Формулировка

Векторы состояния при преобразованиях из собственной группы Пуанкаре преобразуются по унитарному представлению её универсальной накрывающей (квантовомеханической собственной группы Пуанкаре).

Иначе говоря, из каждого луча T ( a , Λ ) {displaystyle T(a,Lambda )} можно выбрать по одному представителю U ( a , Λ ) ∈ T ( a , Λ ) {displaystyle U(a,Lambda )in T(a,Lambda )} так что имеют место соотношения :

U ( 0 , 1 ) = 1 , U ( a 1 _ , A 1 ) U ( a 2 _ , A 2 ) = U ( a 1 _ + A 1 ∗ a 2 A 1 , A 1 A 2 ) {displaystyle U(0,1)=1,U({underline {a_{1}}},A_{1})U({underline {a_{2}}},A_{2})=U({underline {a_{1}}}+A_{1}^{*}a_{2}A_{1},A_{1}A_{2})}

где a {displaystyle a} определяется формулой x = x α σ α = x 0 σ 0 + x 1 σ 1 + x 2 σ 2 + x 3 σ 3 = ( x 0 + x 3 x 1 − i x 2 x 1 + i x 2 x 0 − x 3 ) {displaystyle x=x^{alpha }{sigma }_{alpha }=x^{0}sigma _{0}+x^{1}sigma _{1}+x^{2}sigma _{2}+x^{3}sigma _{3}={egin{pmatrix}x^{0}+x^{3}&x^{1}-ix^{2}x^{1}+ix^{2}&x^{0}-x^{3}end{pmatrix}}} .

Пояснения

Лучом называется вектор состояния в сепарабельном гильбертовом пространстве. Группа G 2 {displaystyle G_{2}} называется универсальной накрывающей связной группы G 1 {displaystyle G_{1}} , если G 2 {displaystyle G_{2}} - минимальная односвязная группа, гомоморфная G 1 {displaystyle G_{1}} . x {displaystyle x} - четырехмерный вектор. σ 0 , . . . , σ 3 {displaystyle sigma _{0},...,sigma _{3}} - матрицы Паули.