Формула Гаусса — Бонне

Формула Гаусса — Бонне связывает эйлерову характеристику поверхности с её гауссовой кривизной и геодезической кривизной её границы.

Формулировка

Пусть Ω {displaystyle Omega } — компактное двумерное ориентированное риманово многообразие с гладкой границей ∂ Ω {displaystyle partial Omega } . Обозначим через K {displaystyle K} гауссову кривизну Ω {displaystyle Omega } и через k g {displaystyle k_{g}} геодезическую кривизну ∂ Ω {displaystyle partial Omega } . Тогда

∫ Ω K d σ + ∫ ∂ Ω k g d s = 2 π χ ( Ω ) , {displaystyle int limits _{Omega }K,dsigma +int limits _{partial Omega }k_{g},ds=2pi chi (Omega ),}

где χ ( Ω ) {displaystyle chi (Omega )} — эйлерова характеристика Ω {displaystyle Omega } .

В частности, если у Ω {displaystyle Omega } нет границы, получаем

∫ Ω K d σ = 2 π χ ( Ω ) . {displaystyle int limits _{Omega }K,dsigma =2pi chi (Omega ).}

Если поверхность деформируется, то её эйлерова характеристика не меняется, в то время как гауссова кривизна может меняться поточечно. Тем не менее, согласно формуле Гаусса — Бонне, интеграл гауссовой кривизны остаётся тот же.

История

Частный случай этой формулы для геодезических треугольников был получен Фридрихом Гауссом, Пьер Оссиан Бонне и Жак Бине независимо обобщили формулу на случай диска ограниченного произвольной кривой; Бине не опубликовал статьи на эту тему, но Бонне упоминаеет об этом на странице 129 своей "Mémoire sur la Théorie Générale des Surfaces". Для неодносвязных областей формула появляется в работе Вальтера фон Дика. Современная формулировка дана Вильгельмом Бляшке.

Вариации и обобщения

• Формула Гаусса — Бонне естественно обобщается на области с кусочно-гладкой границей. Если в точке излома P i {displaystyle P_{i}} касательный вектор τ {displaystyle {oldsymbol { au }}} разворачивается на угол ϕ i {displaystyle phi _{i}} в сторону области Ω {displaystyle Omega } (может быть положительное или отрицательное число), то формула обобщается до такой: ∫ Ω K d σ + ∫ L k g d s + ∑ i ϕ i = 2 π χ ( Ω ) . {displaystyle int limits _{Omega }K,dsigma +int limits _{L}k_{g},ds+sum _{i}phi _{i}=2pi chi (Omega ).}
• Обобщённая формула Гаусса — Бонне — обобщение формулы на старшие размерности.
• Неравенство Кон-Фоссена — обобщение на некомпактные поверхности.
• Теорема сравнения Топоногова уточняет следующее следствие формулы Гаусса — Бонне: любой треугольник на полной поверхности неотрицательной гауссовой кривизны имеет сумму углов хотя бы π {displaystyle pi } .