Корни из единицы

Корни n-й степени из единицы — комплексные корни многочлена x n − 1 {displaystyle x^{n}-1} , где n ⩾ 1 {displaystyle ngeqslant 1} . Другими словами, это комплексные числа, n-я степень которых равна 1. В общей алгебре рассматриваются также корни многочлена x n − 1 {displaystyle x^{n}-1} не только в комплексном, но и в произвольном ином поле, характеристика p {displaystyle p} которого не является делителем степени n {displaystyle n} многочлена.

Корни из единицы широко используются в математике, особенно в теории чисел, быстром преобразовании Фурье, теории расширений полей, теории построений циркулем и линейкой, представлениях групп.

Представление

Представим комплексную единицу в тригонометрическом виде:

1 = cos ⁡   0 + i   sin ⁡   0 {displaystyle 1=cos 0+i sin 0}

Тогда по формуле Муавра получим выражение для k {displaystyle k} -го корня n-й степени из единицы u k {displaystyle u_{k}} :

u k = cos ⁡ 2 π k n + i   sin ⁡ 2 π k n , k = 0 , 1 , . . . , n − 1 {displaystyle u_{k}=cos {frac {2pi k}{n}}+i sin {frac {2pi k}{n}},quad k=0,1,...,n-1}

Корни из единицы могут также быть представлены в показательной форме:

u k = e 2 π k n i , k = 0 , 1 , . . . , n − 1 {displaystyle u_{k}=e^{{frac {2pi k}{n}}i},quad k=0,1,...,n-1}

Из этих формул вытекает, что корней n-й степени из единицы всегда ровно n {displaystyle n} , и все они различны.

Примеры

Кубические корни из единицы:

{ 1 ;   − 1 + i 3 2 ;   − 1 − i 3 2 } {displaystyle left{1; {frac {-1+i{sqrt {3}}}{2}}; {frac {-1-i{sqrt {3}}}{2}} ight}}

Корни 4-й степени из единицы:

{ 1 ;   + i ;   − 1 ;   − i } {displaystyle left{1; +i; -1; -i ight}}

Для корня 5-й степени имеются 4 порождающих элемента, степени каждого из которых охватывают все корни 5-й степени:

{ e 2 π i k 5 | k ∈ { 1 , 2 , 3 , 4 } } = { u 5 − 1 4 + v 5 + u 5 8 i | u , v ∈ { − 1 , 1 } } . {displaystyle left{e^{2pi ik over 5}|kin {1,2,3,4} ight}=left{left.{frac {u{sqrt {5}}-1}{4}}+v{sqrt {frac {5+u{sqrt {5}}}{8}}}i ight|u,vin {-1,1} ight}.}

Для корня 6-й степени порождающих элементов только два ( u 1 {displaystyle u_{1}} и u 5 {displaystyle u_{5}} ):

{ 1 + i 3 2 , 1 − i 3 2 } . {displaystyle left{{frac {1+i{sqrt {3}}}{2}},{frac {1-i{sqrt {3}}}{2}} ight}.}

Свойства

Геометрические свойства

Модуль каждого корня равен 1. На комплексной плоскости корни из единицы образуют вершины правильного многоугольника, вписанного в единичную окружность. Одной из вершин всегда является комплексная единица 1 + 0 i . {displaystyle 1+0i.} Вещественных корней может быть либо два, если n {displaystyle n} чётно (единица и минус единица), либо один (единица), если n {displaystyle n} нечётно. В любом случае невещественных корней чётное число, они располагаются симметрично относительно горизонтальной оси. Последнее означает, что если u k {displaystyle u_{k}} — корень из единицы, то сопряжённое к нему число u k ¯ {displaystyle {overline {u_{k}}}} — тоже корень из единицы.

Пусть M — произвольная точка единичной окружности и n > 1. {displaystyle n>1.} Тогда сумма квадратов расстояний от M до всех корней n − {displaystyle n-} й степени из единицы равна 2 n {displaystyle 2n} .

Алгебраические свойства

Корни из единицы представляют собой целые алгебраические числа.

Корни из единицы образуют по умножению коммутативную конечную группу порядка n {displaystyle n} . В частности, любая целая степень корня из единицы тоже является корнем из единицы. Обратный элемент для каждого элемента этой группы совпадает с сопряжённым ему. Нейтральным элементом группы является комплексная единица.

Группа корней из единицы изоморфна аддитивной группе классов вычетов Z n . {displaystyle mathbb {Z} _{n}.} Отсюда следует, что она является циклической группой; в качестве порождающего (первообразного) можно взять любой элемент u k {displaystyle u_{k}} , индекс k {displaystyle k} которого взаимно прост с n {displaystyle n} .

• Следствия:
  • элемент u 1 {displaystyle u_{1}} всегда является первообразным (его часто называют главным корнем из единицы);
  • если n {displaystyle n} — простое число, то степени любого корня, кроме ± 1 {displaystyle pm 1} , охватывают всю группу (то есть все корни, кроме ± 1 {displaystyle pm 1} , являются первообразными);
  • число первообразных корней равно φ ( n ) {displaystyle varphi (n)} , где φ {displaystyle varphi } — функция Эйлера.

Если n > 1 {displaystyle n>1} , то для любого первообразного корня из единицы u {displaystyle u} имеют место формулы:

∑ k = 0 n − 1 u k = u n − 1 u − 1 = 0 {displaystyle sum _{k=0}^{n-1}u^{k}={frac {u^{n}-1}{u-1}}=0} ∏ k = 1 n − 1 | 1 − u k | = n {displaystyle prod _{k=1}^{n-1}|1-u_{k}|=n}

Круговые поля

Круговое поле, или поле деления круга степени n — это поле K n = Q ( u ) {displaystyle K_{n}=mathbb {Q} (u)} , порождённое присоединением к полю рациональных чисел Q {displaystyle mathbb {Q} } первообразного корня n-й степени из единицы u {displaystyle u} . Круговое поле является подполем поля комплексных чисел; оно содержит все корни n-й степени из единицы, а также результаты арифметических действий над ними.

Исследование круговых полей сыграло значительную роль в создании и развитии теории целых алгебраических чисел, теории чисел и теории Галуа.

Пример: K 3 {displaystyle K_{3}} состоит из комплексных чисел вида a + b 3   i {displaystyle a+b{sqrt {3}} i} , где a , b {displaystyle a,b} — рациональные числа.

Теорема Кронекера-Вебера: всякое абелево конечное расширение поля рациональных чисел содержится в некотором круговом поле.

Обобщения

Корни из единицы n-й степени можно определить не только для комплексных чисел, но и для любого другого алгебраического поля K {displaystyle K} как решения уравнения x n = 1 {displaystyle x^{n}=1} , где 1 {displaystyle 1} — единица поля K {displaystyle K} . Корни из единицы существуют в любом поле и образуют подгруппу мультипликативной группы поля K {displaystyle K} . Обратно, любая конечная подгруппа мультипликативной группы поля K {displaystyle K} содержит только корни из единицы и является циклической.

Если характеристика поля ненулевая, то группа корней из единицы совместно с нулём образует конечное поле.

История

Широкое применение корней из единицы как инструмента исследования начал Гаусс. В своей монографии «Арифметические исследования» (1801) он впервые решил древнюю задачу о делении окружности циркулем и линейкой на n равных частей (или, что то же, о построении правильного многоугольника с n сторонами). С помощью корней из единицы Гаусс свёл задачу к решению уравнения деления круга:

x n − 1 + x n − 2 + ⋯ + x + 1 = 0 {displaystyle x^{n-1}+x^{n-2}+dots +x+1=0}

Дальнейшие рассуждения Гаусса показали, что задача имеет решение, только если n может быть представлено в виде 2 2 r + 1 {displaystyle 2^{2^{r}}+1} . Подход Гаусса использовали позднее Лагранж и Якоби. Коши применил корни из единицы для исследования более общей задачи решения алгебраических уравнений со многими неизвестными (1847 год).

Новые применения корней из единицы обнаружились после создания в начале XX века абстрактной алгебры. Эмми Нётер и Эмиль Артин использовали это понятие в теории расширений полей и обобщении теории Галуа.