4-вектор

4-вектор (четыре-вектор, четырёхвектор) — вектор в четырёхмерном пространстве Минковского, а в более общем случае — вектор в искривлённом четырёхмерном пространстве-времени. Компоненты любого 4-вектора, описывающего физическую систему, при переносе или повороте системы отсчёта, а также при переходе из одной системы отсчёта в другую преобразуются по одному и тому закону, задаваемому преобразованием системы отсчёта. В 4-векторе одна временная компонента и три пространственных. Пространственные компоненты составляют обычный пространственный трёхмерный вектор, компоненты которого могут быть выражены в декартовых, цилиндрических, сферических и в любых других пространственных координатах.

• В современных обозначениях временной компоненте обычно соответствует индекс 0 (то есть она считается нулевой компонентой), пространственным: 1, 2, 3 — совпадающим с x, y, z (обычно, по умолчанию и если возможно, это обычные прямоугольные декартовы координаты). В старой литературе часто используется соглашение (восходящее к Минковскому), по которому временная компонента считалась не нулевой, а четвёртой.
• Иногда бывает удобно приписывать временной компоненте 4-вектора чисто мнимый характер (всегда умножать действительную временную компоненту на мнимую единицу). Такое представление 4-векторов было исторически введено первым и иногда используется и в современной литературе.
• 4-векторы (их компонентное представление) могут быть записаны в контравариантной и (или) ковариантной форме (см. ниже), которые не всегда совпадают, а в случае действительного представления (без мнимой единицы) всегда различаются между собой, хотя в простых случаях это различие весьма просто.

Примеры 4-векторов

Здесь и далее используется сигнатура ( + ,   − ,   − ,   − ) {displaystyle (+,~-,~-,~-)} .

• 4-перемещение d x i = ( c d t ,   d x ,   d y ,   d z ) , {displaystyle dx^{i}=(cdt,~dx,~dy,~dz),}
• 4-скорость u i = d x i d s = 1 c d x i d τ , {displaystyle u^{i}={frac {dx^{i}}{ds}}={frac {1}{c}}{frac {dx^{i}}{d au }},} где τ {displaystyle au } — «собственное время», равное деленному на скорость света интервалу, τ = 1 c ∫ d s {displaystyle au ={frac {1}{c}}int {ds}} , измеренному вдоль мировой линии. Геометрически 4-скорость является единичным вектором, касательным к мировой линии частицы.
• 4-ускорение a i = d u i d s = 1 c d u i d τ , {displaystyle a^{i}={frac {du^{i}}{ds}}={frac {1}{c}}{frac {du^{i}}{d au }},} где τ {displaystyle au } — см. выше. Геометрически 4-ускорение является вектором кривизны мировой линии частицы.
• 4-вектор энергии-импульса (четырёхимпульс) p i = ( ε c ,   p x ,   p y ,   p z ) {displaystyle p^{i}=left({frac {varepsilon }{c}},~p_{x},~p_{y},~p_{z} ight)} . Для частицы с ненулевой массой в отсутствие внешних полей p i = c m u i {displaystyle p^{i}=c,mu^{i}} .
• четырёхмерная плотность тока (4-ток) j i = ( c ρ ,   j x ,   j y ,   j z ) ; {displaystyle j^{i}=(c ho ,~j_{x},~j_{y},~j_{z});}
• волновой 4-вектор k i = ( ω c , − k x , − k y , − k z ) ; {displaystyle k_{i}=left({frac {omega }{c}},-k_{x},-k_{y},-k_{z} ight);}
• Электромагнитный потенциал A i = ( φ ,   − A x ,   − A y ,   − A z ) . {displaystyle A_{i}=(varphi ,~-A_{x},~-A_{y},~-A_{z}).}

Свойства

• Закон преобразования четырёхвектора:

A ~ i = ∑ j S j i   A j , {displaystyle { ilde {A}}^{i}=sum _{j}S_{j}^{i} A^{j},}

где S j i {displaystyle S_{j}^{i}} — матрица из группы Лоренца — матрица перехода к новым координатам (к новой системе отсчёта).

• Скалярные произведения (в частности, квадраты) 4-векторов вычисляются с использованием метрики Лоренца (см. также ниже).
  • Они инвариантны относительно преобразований Лоренца. Они называются скалярами (в четырёхмерном — пространственно-временном — смысле).
  • Например, это интервал (квадрат интервала есть квадрат вектора перемещения в метрике Лоренца), масса (масса покоя) — её квадрат есть, с точностью до постоянного множителя, квадрат 4-импульса: m 2 = E 2 / c 4 − p 2 / c 2 {displaystyle m^{2}=E^{2}/c^{4}-p^{2}/c^{2}} и т. д.

Обозначения

Традиционно используется обозначение 4-вектора как совокупности его компонент. Так 4-вектор a {displaystyle a} обозначается как: a i {displaystyle a^{i}} (не нужно путать это обозначение с возведением в степень!) или a i . {displaystyle a_{i}.}

Координаты, 3 пространственные и временную, обычно обозначают как x i . {displaystyle x^{i}.}

Что означает при этом использование верхнего ( a i {displaystyle a^{i}} ) или нижнего ( a i {displaystyle a_{i}} ) индекса, оговаривается особо, но по умолчанию, если используется тот и другой (или хотя бы первый) вариант, то есть, если верхние индексы вообще используют, верхним индексом обозначают контравариантные координаты 4-вектора, а нижним — ковариантные координаты. Таким образом, в этом случае один и тот же вектор может иметь два разных представления — контравариантное и ковариантное.

В случае плоского пространства и инерциальных систем отсчёта, как в электродинамике, специальной теории относительности и вообще в случаях, когда гравитацией можно пренебречь, ковариантное и контравариантное представление отличаются лишь знаком временной (или наоборот, в зависимости от условно принятой сигнатуры — пространственных) компоненты. При этом скалярное произведение представимо как простая сумма произведений соответствующих компонент только для произведения ковариантного вектора с контравариантным, например:

( a , b ) = a i b i ≡ ∑ i a i b i = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 + a 4 b 4 = a 1 b 1 − a 2 b 2 − a 3 b 3 − a 4 b 4 {displaystyle (a,b)=a^{i}b_{i}equiv sum _{i}a^{i}b_{i}=a^{1}b_{1}+a^{2}b_{2}+a^{3}b_{3}+a^{4}b_{4}=a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4}}

и в частности

( a ) 2 = ( a , a ) = a i a i ≡ ∑ i a i a i = a 1 a 1 + a 2 a 2 + a 3 a 3 + a 4 a 4 = ( a 1 ) 2 − ( a 2 ) 2 − ( a 3 ) 2 − ( a 4 ) 2 {displaystyle (a)^{2}=(a,a)=a^{i}a_{i}equiv sum _{i}a^{i}a_{i}=a^{1}a_{1}+a^{2}a_{2}+a^{3}a_{3}+a^{4}a_{4}=(a_{1})^{2}-(a_{2})^{2}-(a_{3})^{2}-(a_{4})^{2}}

(здесь и ниже использовано правило суммирования по повторяющемуся индексу Эйнштейна, а возведение в квадрат обозначено как (…)²).

Если же хотят написать скалярное произведение с использованием только ковариантных или только контравариантных компонент, обычно используют запись с метрикой Лоренца η i j {displaystyle eta _{ij}} (или η i j {displaystyle eta ^{ij}} ):

( a , b ) = η i j a i b j ≡ ∑ i , j η i j a i b i = a 1 b 1 − a 2 b 2 − a 3 b 3 − a 4 b 4 {displaystyle (a,b)=eta _{ij}a^{i}b^{j}equiv sum _{i,j}eta _{ij}a^{i}b^{i}=a^{1}b^{1}-a^{2}b^{2}-a^{3}b^{3}-a^{4}b^{4}}

или

( a , b ) = η i j a i b j ≡ ∑ i , j η i j a i b i = a 1 b 1 − a 2 b 2 − a 3 b 3 − a 4 b 4 {displaystyle (a,b)=eta ^{ij}a_{i}b_{j}equiv sum _{i,j}eta ^{ij}a_{i}b_{i}=a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4}}

(оба способа эквивалентны друг другу и описанному выше способу со обоими типами координат).

Однако в более общем случае нелоренцевых систем отсчёта, в том числе при учёте гравитации в соответствии с ОТО, вместо очень простой и постоянной лоренцевой метрики η i j {displaystyle eta _{ij}} приходится рассматривать произвольную, в том числе зависящую от пространственных координат и времени метрику g i j . {displaystyle g_{ij}.} (Во всех формулах, написанных в этом параграфе выше, надо в общем случае заменить η i j {displaystyle eta _{ij}} на g i j {displaystyle g_{ij}} , а η i j {displaystyle eta ^{ij}} на g i j {displaystyle g^{ij}} ). При этом простое правило о том, что ковариантное и контравариантное представление 4-вектора различаются лишь знаком пространственных компонент, перестаёт действовать, они начинают выражаться друг через друга с использованием также метрики g i j {displaystyle g_{ij}} общего вида (см. Метрический тензор#Изоморфизм между касательным и кокасательным пространством):

a i = g i j a j ≡ ∑ j g i j a j , {displaystyle a^{i}=g^{ij}a_{j}equiv sum _{j}g^{ij}a_{j},} a i = g i j a j ≡ ∑ j g i j a j . {displaystyle a_{i}=g_{ij}a^{j}equiv sum _{j}g_{ij}a^{j}.}

(Как видим, эти формулы были верны и для η i j , {displaystyle eta _{ij},} но в том случае сводились к простому правилу перемены знака некоторых компонент, а здесь — в общем случае — уже не сводятся).

Заметим также, что в пространстве-времени с кривизной (которое уже правильно считать только многообразием, а не векторным пространством), совокупность координат x i {displaystyle x^{i}} уже не является вектором. Однако бесконечно малые смещения по координатам d x i {displaystyle dx^{i}} представляют вектор (вектор касательного пространства к многообразию в точке x i {displaystyle x^{i}} ).

И наконец, в случае лоренцевой метрики, рассмотренном выше, нередко используют только нижние индексы, так как ковариантные и контравариантные компоненты различаются только знаком, и можно ограничиваться упоминанием только одних из них (обычно — контравариантных, хотя и используя нижний индекс). Этот способ для этого случая сравнительно удобен, так как отсутствие верхних индексов несколько более привычно для неспециалистов, к тому же не может создать путаницы с обозначением возведения в степень. Однако и он имеет подводные камни, так как, например, вектор 4-градиента, записанный в контравариантном виде, довольно неожиданно имеет знак минус у пространственных компонент: ( ∂ 0 , − ∂ 1 , − ∂ 2 , − ∂ 3 ) , {displaystyle (partial _{0},-partial _{1},-partial _{2},-partial _{3}),} так как полный дифференциал d f = ∂ 0 f d x 0 + ∂ 1 f d x 1 + ∂ 2 f d x 2 + ∂ 3 f d x 3 {displaystyle df=partial _{0}fdx^{0}+partial _{1}fdx^{1}+partial _{2}fdx^{2}+partial _{3}fdx^{3}} — должен быть инвариантным, а в формулу скалярного произведения, если оба вектора представлены в одинаковой контравариантной форме, входит, как мы знаем, изменение знака из-за η i j . {displaystyle eta _{ij}.}

Интересно, что способ с использованием только нижних индексов и мнимой временной компоненты лишён этих недостатков (главным образом в области применимости, ограниченной случаем плоского пространства, но не только). Дело в том, что при использовании этого способа нужные знаки получаются автоматически (внимание: с учетом сигнатуры; впрочем, выбор сигнатуры — всё равно дело договоренности). То есть о знаках вообще не нужно думать, не нужно использовать явно матрицу метрического тензора, даже η i j , {displaystyle eta _{ij},} то есть метрика формально представлена единичной матрицей («формально евклидовская», что, конечно, не меняет её реально псевдоевклидова характера, но упрощает запись), а представление всех 4-векторов просто и единообразно:

• 4-перемещение d x μ = ( i c   d t , d x , d y , d z ) , {displaystyle dx_{mu }=(ic~dt,dx,dy,dz),}
• 4-импульс p μ = ( i E / c , p x , p y , p z ) , {displaystyle p_{mu }=(iE/c,p_{x},p_{y},p_{z}),}
• четырёхмерная плотность тока j μ = ( i c ρ , j x , j y , j z ) , {displaystyle j_{mu }=(ic ho ,j_{x},j_{y},j_{z}),}
• волновой 4-вектор k μ = ( i ω / c , k x , k y , k z ) , {displaystyle k_{mu }=(iomega /c,k_{x},k_{y},k_{z}),}
• электромагнитный потенциал A μ = ( i ϕ , A x , A y , A z ) , {displaystyle A_{mu }=(iphi ,A_{x},A_{y},A_{z}),}

и т. д., где i — мнимая единица.

4-вектор в математике

Точка в пространстве Минковского называется событием и задаётся четырьмя координатами:

x := ( c t , x , y , z ) , {displaystyle mathbf {x} :=left(ct,x,y,z ight),}

где c {displaystyle c} — скорость света, t {displaystyle t} — время события, а x , y , z {displaystyle x,y,z} — его пространственные координаты. Такой 4-вектор называется 4-радиус-вектором.

Многие другие 4-векторы могут быть построены из него и далее друг из друга сложением, вычитанием, умножением или делением на скаляр, а также дифференцированием по скаляру и т. п. Так из 4-радиус-вектора дифференцированием по собственному времени получается 4-скорость, и т. д.

Скалярные произведения 4-векторов — лоренц-инвариантные величины (инварианты группы Лоренца), скаляры пространства Минковского.

История

4-векторы впервые рассмотрели Пуанкаре (1905) и затем Минковский. Они рассматривали временную компоненту 4-вектора чисто мнимой, что автоматически порождало нужное правило вычисления скалярного произведения при обычном суммировании произведений компонент. Термин «4-вектор» был предложен Арнольдом Зоммерфельдом в 1910 году.