Главная
Тензорное поле — это отображение, которое каждой точке рассматриваемого пространства ставит в соответствие тензор.
Определение
Формально тензорное поле можно определить несколькими способами.
Определение через понятие структуры на многообразии
Используя основное понятие дифференциальной геометрии — структура на многообразии, — можно дать следующее определение:
Пусть V = R n {displaystyle V=mathbb {R} ^{n}} , V ∗ = H o m ( V , R ) {displaystyle V^{*}=mathrm {Hom} ,(V,;mathbb {R} )} и V q p = ( ( ⊗ p V ) ) ⊗ ( ( ⊗ q V ∗ ) ) {displaystyle V_{q}^{p}=(({overset {p}{otimes }}V))otimes (({overset {q}{otimes }}V^{*}))} — пространство тензоров типа ( p , q ) {displaystyle (p,;q)} с естественным тензорным представлением группы G L 1 ( n ) = G L ( n ) {displaystyle GL^{1}(n)=GL(n)} , тогда структура типа V q p {displaystyle V_{q}^{p}} является линейной структурой первого порядка и называется тензорным полем (или тензорной структурой) типа ( p , q ) {displaystyle (p,;q)} .
Определение через понятие тензорного расслоения
При определении тензорного поля можно отталкиваться от понятия тензорного расслоения.
Тензорное поле — это сечение тензорного расслоения T p , q ( M ) {displaystyle T^{p,;q}(M)} на дифференцируемом многообразии M {displaystyle M} , изоморфного в общем случае тензорному произведению касательных и кокасательных расслоений
T p , q ( M ) ≅ ⊗ p T ( M ) ⊗ ⊗ q T ( M ) ∗ . {displaystyle T^{p,;q}(M)cong {overset {p}{otimes }}T(M)otimes {overset {q}{otimes }}T(M)^{*}.}Нестрогое определение
Менее формально тензорное поле можно рассматривать как отображение, которое каждой точке рассматриваемого многообразия M {displaystyle M} ставит в соответствие тензор постоянной валентности.
Область применения
Понятие тензорного поля естественным образом возникает в механике и физике сплошных сред при описании анизотропных сред. Понятие тензорного поля находит применение во всех прикладных науках, где такие среды рассматриваются и изучаются. Оно входит в математический аппарат общей и специальной теории относительности.
Расширенное тензорное поле
Понятие расширенного тензорного поля возникает в результате расширения понятия тензорного поля в изложенном выше смысле.
Нестрогое определение
Проще всего понимать такое расширение исходя из нестрогого определения, согласно которому тензорное поле — это отображение, которое ставит в соответствие каждой точке x {displaystyle displaystyle x} многообразия M {displaystyle displaystyle M} некоторый тензор фиксированной валентности ( p , q ) {displaystyle displaystyle (p,q)} , отнесенный к этой точке x {displaystyle displaystyle x} . Пусть теперь M ~ {displaystyle displaystyle { ilde {M}}} — некоторое другое многообразие, являющееся линейным расслоением над M {displaystyle displaystyle M} , и пусть π : M ~ → M {displaystyle displaystyle pi :{ ilde {M}} o M} — каноническая проекция для такого расслоения. Тогда расширенное тензорное поле — это отображение, которое ставит в соответствие каждой точке y {displaystyle displaystyle y} многообразия M ~ {displaystyle displaystyle { ilde {M}}} некоторый тензор фиксированной валентности ( p , q ) {displaystyle displaystyle (p,q)} на M ~ {displaystyle displaystyle { ilde {M}}} , отнесенный к точке x = π ( y ) {displaystyle displaystyle x=pi (y)} .