Ортогональное преобразование

Ортогональное преобразование — линейное преобразование A {displaystyle A} евклидова пространства L {displaystyle L} , сохраняющее длины или (что эквивалентно) скалярное произведение векторов. Это означает, что для любых двух векторов x , y ∈ L {displaystyle x,yin L} выполняется равенство

⟨ A ( x ) , A ( y ) ⟩ = ⟨ x , y ⟩ , {displaystyle langle A(x),,A(y) angle =langle x,,y angle ,}

где треугольными скобками обозначено скалярное произведение ⟨ x , y ⟩ {displaystyle langle x,,y angle } в пространстве L {displaystyle L} .

Свойства

• Ортогональные преобразования (и только они) переводят один ортонормированный базис евклидова пространства в другой ортонормированный.
• Необходимым и достаточным условием ортогональности линейного преобразования A {displaystyle A} является равенство A ∗ = A − 1 , ( ∗ ) {displaystyle A^{*}=A^{-1},qquad (*)}

где A ∗ {displaystyle A^{*}} — сопряжённое, а A − 1 {displaystyle A^{-1}} — обратное преобразования.

• В ортонормированном базисе ортогональным преобразованиям (и только им) соответствуют ортогональные матрицы. Таким образом, критерием ортогональности матрицы A {displaystyle A} является равенство (*), где A ∗ {displaystyle A^{*}} — транспонированная, а A − 1 {displaystyle A^{-1}} — обратная матрицы.
• Собственные значения ортогональных преобразований по модулю равны 1 {displaystyle 1} , а собственные векторы (вообще говоря, комплексные), отвечающие различным собственным значениям, ортогональны. Например, собственные значения матрицы ( cos ⁡ φ − sin ⁡ φ sin ⁡ φ cos ⁡ φ ) {displaystyle {egin{pmatrix}cos varphi &-sin varphi sin varphi &cos varphi end{pmatrix}}} равны cos ⁡ φ ± i ⋅ sin ⁡ φ {displaystyle cos varphi pm icdot sin varphi } , а собственные векторы равны ( 1 ∓ i ) {displaystyle {egin{pmatrix}1mp iend{pmatrix}}} .
• Определитель ортогонального преобразования равен 1 {displaystyle 1} (собственное ортогональное преобразование) или − 1 {displaystyle -1} (несобственное ортогональное преобразование).
• В произвольном n {displaystyle n} -мерном евклидовом пространстве ортогональное преобразование является композицией конечного числа отражений.
• Множество всех ортогональных преобразований евклидова пространства образует группу относительно операции композиции — ортогональную группу данного евклидова пространства. Собственные ортогональные преобразования образуют нормальную подгруппу в этой группе (специальную ортогональную группу).

Размерность 2

В случае евклидовой плоскости всякое собственное ортогональное преобразование является поворотом на некоторый угол φ {displaystyle varphi } , и его матрица в любом ортонормированном базисе имеет вид

(       cos ⁡ φ sin ⁡ φ − sin ⁡ φ cos ⁡ φ ) . {displaystyle {egin{pmatrix} cos varphi &sin varphi -sin varphi &cos varphi end{pmatrix}}.}

Матрица несобственного ортогонального преобразования имеет вид

(   cos ⁡ φ     sin ⁡ φ sin ⁡ φ − cos ⁡ φ ) . {displaystyle {egin{pmatrix} cos varphi & sin varphi sin varphi &-cos varphi end{pmatrix}}.}

Она симметрична, имеет собственными числами 1 и −1 и, следовательно, является инволюцией. В подходящем ортонормированном базисе матрица несобственного ортогонального преобразования имеет вид

( 1     0 0 − 1 ) , {displaystyle {egin{pmatrix}1& 0&-1end{pmatrix}},}

то есть оно является отражением относительно некоторой прямой. Собственное ортогональное преобразование есть произведение двух отражений:

(       cos ⁡ φ sin ⁡ φ − sin ⁡ φ cos ⁡ φ ) = ( 1     0 0 − 1 ) (   cos ⁡ φ     sin ⁡ φ sin ⁡ φ − cos ⁡ φ ) . {displaystyle {egin{pmatrix} cos varphi &sin varphi -sin varphi &cos varphi end{pmatrix}}={egin{pmatrix}1& 0&-1end{pmatrix}}{egin{pmatrix} cos varphi & sin varphi sin varphi &-cos varphi end{pmatrix}}.}

Размерность 3

В трёхмерном пространстве всякое собственное ортогональное преобразование есть поворот вокруг некоторой оси, а всякое несобственное — композиция поворота вокруг оси и отражения в перпендикулярной плоскости.

Размерность n

Имеет место следующая общая теорема:

В терминах матрицы преобразования эту теорему можно сформулировать следующим образом:

Такая запись матрицы A {displaystyle A} ортогонального преобразования иногда называется приведением к каноническому виду.