Доказательство от противного

Доказательство «от противного» (лат. contradictio in contrarium), или апагогическое косвенное доказательство, — вид доказательства, при котором «доказывание» некоторого суждения (тезиса доказательства) осуществляется через опровержение отрицания этого суждения — антитезиса. Этот способ доказательства основывается на истинности закона двойного отрицания в классической логике.

Этот способ очень важен для математики, где существует много суждений, которые не могут быть доказаны по-другому.

Схема доказательства

Доказательство утверждения A {displaystyle A} проводится следующим образом. Сначала принимают предположение, что утверждение A {displaystyle A} неверно, а затем доказывают, что при таком предположении было бы верно некоторое утверждение B {displaystyle B} , которое заведомо неверно.

Из определения импликации следует, что, если B {displaystyle B} ложно, то формула ¬ A ⇒ B {displaystyle eg ARightarrow B} истинна тогда и только тогда, когда ¬ A {displaystyle eg A} ложно, следовательно утверждение A {displaystyle A} истинно.

Полученное противоречие показывает, что исходное предположение было неверным, и поэтому верно утверждение ¬ ¬ A {displaystyle eg eg A} , которое по закону двойного отрицания равносильно утверждению A {displaystyle A} .

В интуиционистской логике доказательство от противного не принимается, так же как не действует закон исключённого третьего.

Примеры

В математике

Доказательство иррациональности числа 2 {displaystyle {sqrt {2}}} .

Допустим противное: число 2 {displaystyle {sqrt {2}}} рационально, то есть представляется в виде несократимой дроби m n {displaystyle {frac {m}{n}}} , где m {displaystyle m} — целое число, а n {displaystyle n} — натуральное. Возведём предполагаемое равенство в квадрат:

2 = m n {displaystyle {sqrt {2}}={frac {m}{n}}} ⇒ {displaystyle Rightarrow } 2 = m 2 n 2 {displaystyle 2={frac {m^{2}}{n^{2}}}} , откуда m 2 = 2 n 2 {displaystyle m^{2}=2n^{2}} .

Отсюда следует, что m 2 {displaystyle m^{2}} чётно, значит, чётно и m {displaystyle m} ; следовательно, m 2 {displaystyle m^{2}} делится на 4, а значит, n 2 {displaystyle n^{2}} и n {displaystyle n} тоже чётны. Полученное утверждение противоречит несократимости дроби m n {displaystyle {frac {m}{n}}} . Значит, исходное предположение было неверным, и 2 {displaystyle {sqrt {2}}} — иррациональное число.

В повседневной жизни

Врач, разъясняя пациенту что тот не болен гриппом, может использовать такие рассуждения: «Если бы вы действительно были больны гриппом, то у вас была бы повышена температура, был заложен нос и т. д. Но всё это у вас отсутствует, значит, нет и гриппа».